好，各位老師，今天我們進行這個學期的核心經驗的培訓的這個模塊的第二次。我們上一次是講了數和運算當中的數的這個部分，今天我想我們要圍繞著運算這個部分來跟大家一起來展開討論，也是一個教研的研討。我們大家都知道，在我們從數學這個領域的角度來去分析的話，實際上，對三到六歲的兒童來說它所涉及到的需要在這個年齡階段獲得的一些主要的核心經驗實際上是可以分為四個大部分的。這就是我們這張圖上顯示出來的四個部分，一個是集合與模式，一個是數與運算，還有比較與測量，幾何與空間這樣四個大部分，這個學期我們主要圍繞的第一個核心經驗的內容模塊就是數和運算來跟大家一起做一些討論。

    上一次我們是談了數概念這個部分，幫助大家一起梳理了在數概念這個部分當中的一些最關鍵的，老師應該知曉的一些核心經驗的要點以及兒童發展的特點和我們的一些支持性的策略，今天我們來討論關于運算，首先一講到運算我想在我們老師的頭腦當中就是對于運算它在數學當中的它的一個地位，包括尤其是在我們學前兒童的數學學習當中它的一個重要性，我想實際上應該是得到了充分的重視，這不僅顯現在我們在我們的教育活動的目標要求里面，我們很明確的就是到了大班，中班的下期，到大班開始，就有像涉及到運算的內容， 實際上我覺得作為老師來說我們不是要知道運算怎么來去教，而是應該要知道更多的應該了解就是運算它作為一種能力，在兒童的運算的能力當中，它有一個什么樣的發展的特點，以及他對運算的這樣的一種能力，它的發展會有一個什么樣的一個軌跡，這就是我們經常說的就是老師要為了理解而去教孩子，而不是為了因為你教材里面要我教這個內容我才去教這個內容，這樣的話我想我們就不可能做到舉一反三，不可能去做到很好的去教學，所以我想要為了理解而去教，在這里我想跟老師們一起來梳理一下，就是對于運算，數的運算，我們應該怎么樣究竟去明白它的一些最基本的要點。

    在這里，首先我們講運算，我們都知道它是什么，是數概念的一個發展，對吧，兒童的運算的能力肯定是要在數概念的學習基礎上然后再慢慢的進入到運算，為什么它是數的運算和數概念之間是它的一個延續或者說是更高的一個階段呢？實際上這就涉及到了，因為在數概念當中兒童對于數本身他們已經有了一個什么？基本的理解，而數的運算是牽涉到數與數之間的一個關系。所以數運算是理解數和數之間結構關系，這種關系可以是組合的，就是加在一起，組合的就是我們跟加法有關系，分解的，從這個總數里面去掉一部分的，分解成兩部分的，這就是跟減法有關系，所以它是指數和數之間的這種關系以及對數量變化，數量變化是指一個小的集合，我們增加了一些元素以后，這個集合就會變大，或者是一個集合我們去掉一些元素以后，這個集合就會變小，這就是一個數量的變化，所以實際上數運算是考察一個孩子他的對于數量變化以及對這種分解與組合的這樣一種數的結構關系的一種理解的這種能力，所以這就表明這樣的這個學習，這樣的這種能力，他一定是在他的數概念的一個經驗的基礎之上，而且，因為我們一直說數學是很抽象的一個學科，這個抽象的本質就是說，數學從根本上來說，它就是一種關系，數學從本質上來說是一種關系，它不是一種事實，也不是一種技能，因為如果說是一種事實和技能的話，我們是可以通過傳遞來獲得，但是這種關系它是非常抽象的，一定要通過他對于具體物的反復的一種體驗，一種發現一種建構，他才慢慢的能夠去理解這樣的一種關系，所以，首先是第一點我們作為老師應該要明白的，就是數運算它是涉及到的是數和數之間的一種抽象關系的這種能力，對兒童來說并不是那么容易的，這也就是為什么我們會在我們的大班階段提出這樣的目標要求。

    第二句話我在這里寫的，就是學前兒童，對于三到六歲的兒童來說他的運算的能力實際上他是有一個漸進的一個建構過程的，在這個漸進的發展過程當中，它包含了一些很重要的發展階段和一些核心的能力，我想在這里我們作為老師的話我們就應該去很清晰的去分析兒童在這種漸進的建構過程當中它的一些發展階段。他要從什么樣的運算慢慢再走到什么樣的運算，再走到什么樣的運算，所以它有一個發展的階段以及這個發展階段當中的一些最最核心的能力指向的是什么，所以我想我們首先來一起看一下，學前兒童他在加減運算發展過程當中一般來說他有這樣三個過程，或者我們叫他三個階段，第一個階段也就是說他是對于加減這樣的一種問題他實際上是處于一種叫做動作水平的階段，所謂動作水平的階段，也就是說他必須要通過外在的動作，一定要看到實物，有動作他才能夠怎么樣？來解決這個運算的問題，不借助于外在的動作，你直接給他運算的符號，給他一些列式的話，他是不可能對這個產生反應的，也不可能去理解它的，除非你是讓他記憶，天天像訓練小狗一樣的，今天訓半個小時，明天訓半個小時，他把他記憶記住，那這個不是一個真正的掌握。

    到第二個水平實際上就是一個表象的水平，就是他對于這個運算的這個情境問題當中的這樣的一些要素，他可以通過他的一種經驗，就是他通過他頭腦中喚起一種跟他生活經驗有關的一些信息的一種記憶，它可能在表象的層面上去理解和回應這個加減運算的問題，再高一個階段，更抽象的一個階段就是到了概念水平，概念水平的一個標志就是說他能夠怎么樣，能夠對符號的運算問題能夠做出反應了，所以一般來說有這樣的一個發展過程。

    在這個發展過程當中我們也應該看到從他對于加減問題的一個回應，從孩子的一個對加減問題解決的回應的策略上來說也有一個發展的過程，就是說這種發展過程體現出一個從逐一加減到按數群加減的這樣一個過程，逐一加減是怎么回事情?按數群加減又是怎么樣的一種策略，我們可以通過一些具體的孩子的一些情況我們來分析一下，比如說逐一加減，逐一加減這個策略實際上從本質上來說它還不是理解的，因為大家記得我剛才列出來的一個加減的運算的能力的核心是什么？是他對數的關系的理解，就是要理解兩部分數的之間的關系，所以在逐一加減的這種回應策略當中我們可以看到，雖然你會發現我給孩子這樣的一個情境，他也能夠說出來總數嗎？但是實際上它不是一個運算能力，我們可以來看一看在逐一加減當中，比如說在加法當中，他會采用這樣兩種策略，一種策略是全部數，就是用數數的方式，還有一個策略是接著數，但是不管是全部數還是接著數，他都是用了什么，就是一個逐一加減的這樣一個策略。比如說這里有兩種物體，蘋果，這里是三個，然后你再給他看這一堆蘋果是幾個，是兩個，對吧？如果你問孩子這里一共是幾個，這屬于什么，相對來說屬于小數量，三個兩個還是屬于小數量，你會發現這樣的蘋果如果說你放在某些四歲左右孩子面前，這樣的情景問題，他也是能夠數的清楚的，他也是能夠告訴你這里有五個蘋果，但是是不是說他就有運算能力呢？未必，因為他在這樣的問題當中，他在回答你這里一共有幾個蘋果的時候，他用的還是什么？數數的方式，他不是把它作為兩個獨立的子群來看待的，他不是把它作為兩個獨立的部分出來看的，他是用什么？一一點數的方式，一個兩個三個四個五個他就數，只要他會數數他就能夠數出來，告訴你這里有五個。那么也有一種方法，不是全部數，而是接著數的方式，相對來說，這樣的作為孩子自動的一種策略運用的它沒有全部數來得多，但是你也會發現有些孩子他會用這樣的策略，就是他前面一個第一個加數的一個值，三個，他作為一個起點，然后接著來數后面的這兩個，四五一直到數完為止，所以他用的是一種接著數的策略，那么這個接著來數也好，全部數也好，都是屬于什么?逐一加減的總的來說是這樣的一個策略。

    這次我舉例子講的是加法，那么減法呢？減法孩子在做這樣的加減運算的這個問題的時候他是不是也有這樣的一種逐一加減的策略，它比加法要來的更復雜一點，通常我們老師都知道就是孩子在學習加法和減法的時候我們一般都會減法要在加法后面來學習，為什么？為什么加法要在前，減法要在后呢？為什么我們會說減法的學習要比加法要來的更難呢？我們是不是可以討論一下，就為什么是說減法它一定要比加法來的更后面一點，從學習的順序上來安排，如果涉及到它也是個小數量嗎？如果說是剛才我們講的是三加二等于五，如果我們是五減去三等于二呢？那是不是他學習加法的同時他應該減法也已經掌握了？或者說是可以一起來學？為什么通常理解減法的問題要比加法要來的滯后一點，或者要來的更困難一點，順數很容易,就是因為我們說可能他在用減法的問題的時候他會用倒著數的策略，所以從策略上來說，順著數要比倒著數來的容易，這是一個因素，一個可能性的原因，還有嗎？還有沒有？就是部分整體的關系，部分和整體的關系因為加法和減法實際上是互逆的，從加法角度它是兩個部分合成，從減法來說是什么，是分解，是不是加法由少到多，孩子容易掌握，而減法是由多到少，這樣的過程。就是說，你覺得加法因為是少的慢慢的增加了以后變得多了，就是這樣的這種情境的問題跟他生活當中的經驗是不是聯系的更多一點，是吧，而且要去掉的這樣的這種情境的問題可能跟生活中又稍微，相比較加法而言稍微要少一點，是吧？這也是一個原因，但是還有一個很重要的原因，這個原因是什么？就是當我們去看加法問題的時候，因為我們通常說，加數，等號前面的我們叫加數，等號后面的我們叫它和，對吧?所以這兩個加數和和之間實際上它們是一個什么樣的關系，就說兩個加數如果說它們之間是沒有關系的，對吧？比如三加二還是二加三，它總歸合起來總數是什么，是五，對吧？但是如果減法的話，它這個減數被減數和一個差，它之間的關系更復雜，是吧？就是它除了跟等號后面的差有關系，它前面的減數和被減數之間還是一個包含的關系，就是說五減三等于二，不可能變成三減五的，對吧，所以就是它里面的一個它的加數和和以及它的減數被減數和差之間的關系，減法要來的更復雜，所以從這一點上來說，我們剛才講的這些也是一個原因我剛才講的補充的一點也是一個原因，所以就會使得兒童要去理解減法比理解加法要更困難一點，我們也來看看在減法當中兒童通常用的策略，你們也可以看一下你可以看看是不是在你們跟孩子接觸的過程當中有沒有孩子用這樣的策略，是不是在用這樣的策略，他可能有四種策略，一種是數數的策略，一種是倒數的策略，一種是匹配的策略，一種是加上去的策略，這四種策略實際上他都是一個逐一加減的水平。

    我們來看看，首先是數數的策略，這里是一共是七個熊，然后，我們要把一部分的物體，就是熊，從這個總體當中拿走，比如說，我們拿走三個，七減三，七減三等于幾？等于四，兒童在七減三這樣的七個小熊拿掉三個小熊還剩下幾個小熊的時候，這個時候他是采用的一種什么，他不是把它意識成為是一個總數里面去掉一個群體，還剩下另外一個群體，而是他采用的是什么，數，就是數，所以在這里，他就數，這里是幾個小熊呢？就是一個兩個三個四個，所以他還是用的是一個什么?數數的策略，看上去他是回應了你這個減法的問題，但是實際上他是在數數，只是在那里數數。

    好，第二種策略我們把它稱為匹配的策略，孩子用匹配的策略，什么叫匹配的策略，就是他把和減數等量的物體和原來的一組物體匹配對照，然后多余的物體數量就是相減以后的這個結果，比如說我們剛才講的七個小熊，對吧？七個小熊要去掉三個小熊，要去掉三個小熊，他把它對應掉，三組小熊匹配對照，然后數什么？匹配了以后，然后剩下來的就是相減以后的結果，所以他用的是一個匹配上去的策略，減掉三個小熊，用三個小熊匹配，然后是剩下來的部分再來數，有幾個，是一個兩個三個四個，是這樣的一種匹配的策略，這也是兒童在回應減法問題的時候的一個策略，還有一種策略就是倒數，剛才我們老師已經講到過了，就是在原來這個數量的物體的基礎上他開始倒著數，數到最后的數就是數去它要減掉的那個數量，最后數的這個數就是他剩余的這樣的一個數量，七開始，從六五四數到去掉三個，他就是剩下來四個就是它的余數，是用倒數的這樣一個策略。

    還有第四種策略，不是去拿掉的，而是加上去，就是在減數的一個基礎上，比如說，七個小熊要減去三個小熊，拿掉三個小熊，它反而是在什么？三個的基礎上一直加，加上去，加到這個總數的數量為止，所以加上去的數量就是它相減以后的這樣一個結果，相對來說，運用這樣策略的孩子相對比較少，剛才我們講的這四種策略實際上它都是一個就是采用了這個逐一的加減的這樣一種方式，所以歸納一下我們會看到，雖然說運算對兒童來說是對數和數之間一種關系的一種理解，相對來說它是對兒童的數的整個的一個能力的發展上來說它是相對要靠后一點的，一般來說要到五歲以后，應該說他有了一種對加減運算問題的理解。

    所以可以我們會看到，他在不同的年齡階段實際上他的發展是有一個階梯的，一般來說四歲以前，四歲我們知道實際上是小班這個左右的年齡階段，他基本上我們說是不會加減運算，注意我們這里講的加減運算不是指他的這種逐一的數數的策略，但有時他也能夠用數數的方式來解決生活當中的小數量的運算問題，所以我們會看到，小班孩子有的時候，你給他小一些數量，他好像似乎也反映了這個問題，但是實際上他不是一個運算能力，從能力上來說，他不是一種運算的水平，他只是一種數數的水平。到四歲以后，他一般來說他能夠借助一些動作，就實物，能夠拿拿放放的這種動作來進行相對一定數量的，也不是很大數量的這樣的一種加減運算。

到了5歲以后他能夠借助于一定的，因為這也是隨著他生活經驗的豐富他慢慢慢慢地能夠借助一些生活情境的問題的一種記憶，借助一種表象來理解加減的運算。我們可以看到到了5歲半以后，在這里我要解釋一下，這個年齡特點沒有那么絕對，這是指一般的，可能在不同的孩子身上還是會有差異的。一般來說到了大班左右5歲以后到6歲應該說基本上這個時候孩子對運算的理解他已經能夠運用什么?部分數、部分數和總數之間三者的關系，這是他運用分解和合成的這種經驗來解決加減的問題。這樣的一種策略，我們說它就是一種什么?按數群加減而不是逐一加減，所以我們剛才分析了他的一個能力，運算的能力有一個從逐一加減到按數群加減這樣一個過渡，這也就是為什么在我們的數學教育的年齡階段目標要求當中，我們要把運算放在大班，這個能力放在大班，有的時候我們經常，我有的時候也會碰到有些做這個課外的一些數學教材的一些老師會來咨詢說：“黃老師我們是不是可以這個學的早一點，現在家長都希望我們孩子學的多一點，人家會十，我們要會二十，人家是大班開始學，我們中班就開始學，我們中班是不是就可以開始學加減運算？”我說如果你要做這樣的事情，也不是說不可以，但是你要明白，這個時候如果說我們不去順應著孩子發展的這樣的一種規律去做的話，實際上你無非就是一個提早就是說是進入，而這種提早進入未必會有一個長遠的價值，從孩子整個發展來說看起來目前他反復做是會的，但實際上他未必是真正的理解，所以我想這個里面就涉及到我們對一個就是說運算的，孩子運算的一個特點的一個規律的認識。

    好，剛才我們解釋的就是說兒童數的運算能力發展的他的一個年齡階段，他的一個發展的線索。那么，接下來我們來看一下我們剛剛就是國家頒布的《3-6歲兒童學習發展指南》，在這個《學習發展指南》當中對于我們數學認知這一塊呢！一共提了三條目標。這是其中的第二條目標，第二條目標它寫的是感知和理解數、量、數量關系，我們的運算就切到哪一點？切到哪里？這里的什么什么，這一條目標里的什么？數量關系，這是一個數量關系，因為它涉及到的是數和數之間的一個變化，數量的一個變化一個關系。我們可以看一下，這些3到4，4到5和5到6歲的活動目標當中，我們可以看到跟運算相關的這個目標呢都放在這個5到6歲里，那5到6歲當中它具體的來說，第二條提到是借助實際情境和操作如合并或拿取就是動作，理解加和減的實際意義，就是這里非常強調的要讓兒童去明白這個加和減的問題當中、情境當中的一個意義而不是去記憶它。第三：能夠通過實物的操作或其它的方法進行十以內的加減，所以這兩條目標就是很明確的提出了，第一，它的關注點是在一個對加減問題的意義的理解，第二個它是十以內的運算，而沒有放在中班更沒有放在小班，所我想這個背后實際上就是我剛才的這種解釋，因為兒童的這個運算的發展的它有這樣一個發展線索，一個軌跡。好，在這里呢？我就想跟老師們特別來說明一下，就是作為老師來說應該很明確的知道如果我們說數的運算是一個兒童在這個年齡階段數學學習的一個核心經驗的話，這個核心經驗下面有兩個要點，這兩個要點我認為是老師一定要把握住的。那你如果有了這樣兩個要點的清晰的一個認識以后你自己去設計活動的時候你的聚焦點就會很清晰，你不會把它放在一些不必要去培養的能力上而會很清晰的聚焦到最核心當中去，在數運算的核心經驗當中呢就是有兩個要點，第一個要點就是我首先講的就是數量變化，首先要讓孩子明白就是說數的運算實際上我剛才講到的是數與數之間的關系，就是要讓他去理解讓他去充分的去感知這樣的一種變化，有了這樣的一種變化，一種感知，一種體驗以后他才能夠怎么樣？去理解數量的這個關系。數量的變化具體的來說指的是什么呢？就是你給一個集合里添加物體以后能夠使這個集合越變越大，而你拿走一些物體以后呢這個集合就會變小。所以我們如果說是幫助兒童更好的去意識到這個數量變化的話我們就要做這樣的事情，就是要讓他明白，怎么一會越來越大呢，怎么拿走了就變得越來越小了，要讓他體驗這個東西。

    下面我想舉個例子來跟大家一起分析。數量變化剛才解釋過了，就是一個集合添加了物體能夠使集合變大，拿走一些物體使集合變小，這樣的例子是很多的，比如說原來是兩個小朋友兩個這樣一個小的集合然后現在又來了三個小朋友，一共有幾個小朋友呢？這樣的生活情境當中問題是很多的。關鍵是什么？就是要讓他體會到這樣一種數量變化，所以我在這里想要說的,舉的例子呢就是故事，故事是很好的一種素材，能夠幫助孩子去理解，這個當中的一種數量變化。數運算實際上是在幫助我們去理解數之間的一種關系，實際上我們說所有的數運算從某種程度上來說它都是一種故事。所以，我們首先要去挖掘一些故事，尤其是跟孩子的生活經驗相接近的孩子很喜歡的一些故事素材里面的這樣的一些元素，幫助孩子去找到這個書，故事書當中的一些數量變化的線索讓他去理解。我在這里給大家舉一本故事書叫做《姜餅人 》，不知道你們看過沒有？《姜餅人》，我把這個故事書已經掃描進去了我們一起來看一下，一邊看然后等會兒我們一邊來討論一下，老師們討論一下這個里面有些什么樣的數量變化的線索在里面？

    一對老奶奶和老爺爺住在一座小木屋里。一天，這個老奶奶做了一個漂亮的姜餅人，就是這個姜餅人。《姜餅人》是一個童話故事 。看看四周沒有人 “啪”，突然從桌子上站起來就沖到門外去了，沖出去了。老奶奶看見了很著急，就是在后面追，一邊追一邊大聲的喊：“站住！站住！”，姜餅人說：“你抓不住我！因為我是姜餅人！”然后老爺爺也看見了，也開始追了，還大聲喊：“站住，站住！”姜餅人笑著說：“你們抓不住我！因為我是姜餅人！”

    這故事你們現在就可以預測了后面是怎么樣？老黃牛看見了，然后心想這個姜餅人如果和青草一起吃一定是很美味的，于是就追上去喊了：“站住站住！”，姜餅人哈哈笑著說：“你們抓不住我！因為我是姜餅人！”。

    這就是我們語言故事當中經常用的重復，孩子非常喜歡這樣的重復。

    然后松鼠又看見了，心想姜餅人和松果一起吃一定是更美味的，于是松鼠也跟著追上去說：“站住！站住！”，然后姜餅人得意的笑著說：“你們抓不住我！因為我是姜餅人!”。這個時候棕熊在樹上，棕熊看見了，心想姜餅人和蜂蜜一起吃也一定是很美味的，于是也跟著追上去喊：“站住，站住！”。然后姜餅人繼續笑著大聲說：“你們是抓不住我的！因為我是姜餅人！”。好，這個時候我們看看這個是老奶奶、老爺爺、老黃牛、小松鼠、棕熊都跟著在那里追姜餅人。姜餅人跑啊跑越跑越快，老奶奶、老爺爺、老黃牛、松鼠和棕熊在后面追啊追跟著追。姜餅人跑到了河邊一只紅狐貍鉆出來，紅狐貍對他說，來站到我的尾巴上，因為姜餅人過不了河了，紅狐貍說，來，站到我的尾巴上我帶你過河。姜餅人說不行你會吃掉我的，紅狐貍說不會不會我不喜歡吃姜餅。這個時候姜餅人就怎么樣?跳到它的什么，紅狐貍的尾巴上面，然后河水漫上來了這個時候河水漫漫漫快要漫過姜餅人的腳了，紅狐貍就跟他說了不行不行你跳到我的背上來，這后面你們也可以想象啊！河水越來越深越來越深快要漫過姜餅人的腳了，紅狐貍說跳到我的頭上來吧！不久，他也跳上去，跳到他的頭上紅狐貍又說你太重了，我累死了你快跳到我的鼻子上來，挪到我的鼻子上來吧這個時候想象一下后面發生什么事情了？對吧！姜餅人跳到紅狐貍的鼻子上那怎么樣呢?啊嗚一口紅狐貍就把這個姜餅人怎么樣了？吃掉了。

    這故事孩子很喜歡的，那我現在就請老師們討論討論你們覺得在這個故事里面我們怎么去找到數學的一種跟運算有關系的數量變化的一些元素？

    追姜餅人的人數越來越多。 追姜餅人的人數怎么樣？越來越多，越來越多越來越多,所以這就是一個什么?數量的一個變化。本來是一個小的集合對吧?本來是一個人后來變成了兩個人后來變成了三個人，再后來變成四個人五個人，對吧？這個是數量的一個變化，這樣的一個故事素材，當然我們如果不是從數學的角度我們去用這個素材的話肯定是可以有另外的設計，如果我們用數學這個角度去設計這個素材的話，你們覺得這個故事還可以怎么樣來改編？還可以讓孩子來體會這個數量的變化？除了剛才講的這個一個人追后面到兩個人越來越多，越來越多。還可以怎么樣？

   序數。

   序數對吧！序數也有，第一個出來第二個出來第三個出來，對吧？序數。

   還可以怎么樣？還涉及到什么？

   或者我在想到,就是他最后不是引出來了很多的嘛?第幾個是誰第幾個是誰？

   對，這涉及到也是序數。第幾個是誰，第幾個是誰？

   幾個人幾個動物。

   幾個人幾個動物。

   分類。

   也可以分開來數，對吧？來比較，對吧！也是可以的。

   它是不是可以跟減法有關系呢？

   有一個姜餅人最后被吃了，沒有了。

   沒有了，對吧！就是吃掉了以后就沒有了，因為我們老師上這個活動的時候她就把它改編掉了。就是上到跳上來，跳到我的鼻子上，跳到我的頭上，跳到我的背上再跳到鼻子上的時候這個老師這個時候終止了，就是這個故事終止了，然后她留下來給孩子，因為按照故事線索的時候是,最后是什么? 啊嗚吃掉了。老師上到這里就沒有上下去，她說你們想想看最后這個情況會怎么樣？結果這個時候孩子的這個發散就是有很多種可能性，這個當中既是孩子的一種發散思維同時也是孩子的一種邏輯推斷，因為老師讓他說的為什么？剛剛說為什么？比如有的孩子就說，他說狐貍就把這個姜餅人馱過河了，為什么？因為他說狐貍說了我不喜歡吃姜餅。他把狐貍理解成是一個什么？是很真實的很友善的它就是要做好事情，說話算數我把你馱過河了好，這也是有什么?有推斷的可能性的，因為它前面確實說過這句話我不喜歡吃姜餅，但也有的孩子說，他說紅狐貍跟姜餅人最后還剩下幾個人，有的說剩下一個人，剩下誰？剩下了這個姜餅人，有的人說剩下一個人，剩下誰？剩下紅狐貍因為姜餅人都被它吃掉了，也有的說剩下兩個人因為他們一起過河了。所以這里面就是有很多種這個可能性，我現在給大家看看就是說這樣的一個故事的素材我們老師怎么樣利用這個故事的素材來做改編，你們發現沒有？這個故事有點像我們中國的傳統故事什么？

    《拔蘿卜》！

    《拔蘿卜》對吧？《拔蘿卜》里面它也是一個數量不斷的在慢慢的增加然后慢慢慢慢的去掉。然后，我們來看看這個改編的幾個劇本，從改編的幾個劇本當中我想我們可以看到老師跟孩子，因為這個活動我們確實是有老師設計了一個數學活動上的很有趣，就是讓孩子怎么來玩這個表演游戲自己來做來體驗這個角色，然后通過孩子的表演，一半的孩子表演一半的孩子在那里看，看的孩子就讓他感知什么？人越來越多了，人越來越多他表演到一半的時候老師就停下來，老師就問現在有幾個人在追姜餅人？現在有幾個人？就是有這樣的跟他有數學相關的數量變化的問題在刺激他。然后又讓另外一半的孩子來表演，再來互動。也有的老師就把它改編成另外的劇本，因為這個故事，劇本是可以,老師是可以變的。我們來看一看這個劇本是怎么改編的，第一種改編的可能性，在很久很久以前，在北極附近的一個小村莊里，有一位矮小的老婆婆和一位矮小的老伯伯，他們一起在做姜餅人，當姜餅人做好以后他一下子跳出了烤箱跑到屋子的外面大聲的說：跑啊！跑啊！快快跑，你們抓不住我我是姜餅人。這個時候矮小的老婆婆和矮小的老伯伯穿上他們的大衣和靴子跑出去追姜餅人。姜餅人從一只北極熊的身邊跑過，大聲的說道:跑啊，跑啊，快快跑。你們抓不住我我是姜餅人。北極熊也追著姜餅人跑了起來，那現在是矮小的老婆婆矮小的老伯伯和北極熊都在追趕他，姜餅人從一群馴鹿的身邊跑過大聲地說，跑啊跑啊，快快跑啊！你們抓不住我我是姜餅人。所有的馴鹿都跟著追著姜餅人跑了起來，現在是矮小的老婆婆矮小的老伯伯，北極熊和所有的馴鹿都在追趕他，姜餅人冷得再也跑不動了，他被怎么樣了？被凍住了,凍住了。這個時候當矮小的老婆婆撿起這個姜餅人的時候他已經什么？碎成了一塊一塊這個一塊一塊剛好夠矮小的老婆婆矮小的老伯伯，北極熊和所有的馴鹿每個人享用一塊。你看這個故事改編的怎么樣？它這個里面就涉及到哪些？前面是一個數量的不斷增加，對吧?但這里面這個數量的元素還是可以有變化的，我們剛才都是一個一個一個,但是在這里它是有什么？所有的馴鹿，所以這個所有的馴鹿就要看它這個里面是幾個完全可以是數量更多一點，后面這個情節后面變著變著變到最后是碎掉了，碎成幾塊了呢？讓孩子想因為要跟這個都是正正好夠分，是幾塊呢？實際上是讓孩子再回到數量上面，所以它這樣的劇本一改編以后讓孩子來表演這樣的一個故事，讓孩子體驗到！前面是小數量后面是數量越來越大，后來的這個數量又怎么樣了？又是這個，這個變化。好，再來看看第二個這個劇本，它又演化出來一個姜餅男人和姜餅女人，姜餅男人和姜餅女人。有一位矮小的老婆婆和一位矮小的老伯伯一起做了兩個，一個姜餅男人、一個姜餅女人。當他們被做好了以后，兩個人同時跳出了烤箱跑到了屋外，大聲的說：“跑啊！跑啊！快快跑！你們抓不住我們！”，注意啊,“我們”！我們是姜餅人。矮小的老婆婆和矮小的老伯伯追著兩個姜餅人跑了起來，兩個姜餅人從一只馬的身邊跑過大聲的說跑啊！跑啊！快快跑你們抓不住我們，我們是姜餅人。馬追著姜餅人跑了起來，現在是老婆婆老伯伯和馬都在追趕他們，對吧?所以從兩個數量變成到三個數量。兩個姜餅人從一頭牛的身邊跑過大聲的說到跑啊！跑啊！快快跑你們抓不住我們我們是姜餅人，然后牛追著姜餅人跑了起來，現在是老婆婆、老伯伯、馬和牛都在追趕著他們。這個時候兩個姜餅人跑到了一個有兩條路的分岔路口，一條路通向一邊，另一條路通向另一邊。姜餅女人對姜餅男人說：親愛的，我相信我們應該分開走，這樣他們就更難抓住我們了，姜餅男人對姜餅女人說你真聰明我走這條路你走那條路。你看這里面就有一個什么？方位，對吧！它在這故事的情節里面設計的就很自然。于是姜餅男人走了這條路，矮小的老婆婆矮小的老伯伯和馬一起在追他，但跑的最慢的牛看到姜餅女人走了另一條路于是它也走了那條路。你看這里面數量就開始變化了，對吧！所以孩子就會有更多的這個數量這個刺激在他面前，這樣的情境孩子就很真實的。然后，姜餅男人跑到了一條河邊，因為他不會游泳所以他不知道怎么樣才能過河，狐貍說可以把他運過河去，但是狐貍卻把這個姜餅男人怎么樣？吃掉了。姜餅女人跑到另外一個沼澤邊因為她不會游泳所以她不知道怎么樣才能過去，一只鱷魚說它可以把她怎么樣？馱過去，馱過沼澤但是最后這個鱷魚也把她怎么樣？吃光了，吃光了,吃光了以后，剩下來又是怎么樣？是不是減法的問題，對吧！就是數量是越來越少了，對吧！那這個時候如果孩子是一直在上面表演的話他是很真實的看到了什么？數量的變化，開始的時候，啪啪啪！是幾個人在追，對吧！是姜餅女人追的是幾個，姜餅男人追的是幾個，一共在這個場上是有幾個人，然后慢慢慢慢兩個吃掉了以后，又剩下幾個人，對吧！所以這樣的故事情節孩子是很喜歡這樣的故事情節，他也很喜歡這種表演。但是在這么松弛的表演當中游戲的情境當中他也很自然的體驗了這種什么?數量的關系，數量的一種變化，所以，對孩子來說，就是說這種數量的關系的這種變化不是說是老師硬生生的通過這個符號的練習能夠傳遞給他的，一定是他在自己的一些跟他生活有聯系的跟他喜歡的這種游戲情境當中去體驗到，去感知到的，當然我們這里還可以有第三種，這個劇本就是姜餅人逃跑了，逃跑了以后這個又發生了什么樣的問題，我想這個是，我就不再給大家念了。就是說通過這樣的一個很有趣的一個故事實際上我們在這里面找到一些跟數量的變化有關系的這樣的情節的元素，讓孩子去，試著去感知和理解這個當中的數的運算這樣的問題，歸納一下的話呢，我想，在這里特別想跟老師們說的就是，當我們要跟孩子去進行運算的相關的一些學習的時候或者說是一些活動的時候，我們要切記不要及早的就一開始就出現什么？數字，尤其是在兒童年齡小的時候，為什么我們說中班的孩子就不提倡給他一定要會算啦！有的家長會很驕傲的說，我的孩子你看他會做十以內的加減運算了，他也會做二十的了。實際上這個純粹只是一種什么？真的是一種記憶層面上的一種練習強化得到的一個結果，因為在這個階段他沒有充分的去體驗到這個數量的這種變化，數和數之間的這種關系。之前他所得到的對運算的一個結果他一定是僅僅停留在記憶層面上，所以我們說，這里我們說是“裸體數字”這個裸體數字指的就是說缺少了兒童對數字這個符號背后的意義的理解的這種支撐的時候，這種硬生生出現的這個數字的符號我們就稱為裸體數字。它把兒童的數學和兒童的生活怎么樣？隔離開來了，而且是把故事從數學當中剝離出來了。在這個年齡階段孩子來說實際上這樣的數字的反復的出現這種刺激是沒有多大的價值，只有當兒童具備了相應的這種對數量變化的意識和理解的能力之后他才能夠用什么？用符號用算式一定的算式去表征它，表征它。所以你去看，當我們給因為我曾經做過一個就是測查兒童表征數、表征能力的這樣一個研究項目，這個項目是在中班和大班同時做的其中這個研究也涉及到對數的運算的表征的研究。就是我們給孩子提供一個情境問題，然后對這個情境問題解答的時候讓他用不同的方式把這個運算的問題的一個答案給它表征出來。我們會發現小年齡中班的孩子他比大班的孩子來說就是會明顯的在數的符號的表征上的能力要弱一點。所以，這個當中就可以看出來它一定是對這個情境問題有了理解以后他才能夠用什么？用算式把它表征出來，否則的話實際上他純粹是一種對記憶和強化練習得到的結果的一種反映。所以，我想這是我們講的這個關于數運算這個核心經驗的第一個要點，就是要讓兒童去，不斷的去體驗這種數量的變化，數量的這種變化。在數和運算的核心經驗的第二個要點就是分解和組合。因為運算作為運算思維的一種這個就是說是標志，實際上就是我們剛才講的他要能夠明白什么？部分數和總數之間的一個關系。這個關系實際上就牽涉到就是一個分解和組合，分解和組合,而不是純粹用這個數數的一一的加或者是一個一個的數或者一個一個去掉的這種方式來回應這個運算的問題。分解和組合實際上就是我們要知道一定數量的物體可以分解成不同的部分，而這個部分合起來是一個不變的整體，所以我想我們應該要盡量多的，讓孩子去明白，去試著去理解這種數量的分解和合成。這里有一個很簡單的游戲，就是說手指，手指這個小游戲可以讓孩子們用手勢來表示來顯示5事實上是可以有不同的方法，對吧！你可以這樣也是5，你可以這樣也是5，就是讓他看到5他數的時候就知道5有什么？好幾種這種組合的方式，最簡單就可以用手勢來做，另外一個呢我想我們在我們的有些區角活動的情境當中，我們也可以給孩子就是說提供這樣的一種分解和組合的這個對數的分解和組合的這個經驗的一種練習和應用。比如說，我們看看這是我有兩張照片就是幼兒園都是利用這個非常，生活當中可以拿到的一些東西，這些瓶蓋,各種各樣的瓶蓋，然后這個是一個好像是專門是做什么豆腐的還是做…盒子,也是廢物利用，這個老師給它插了一個數字然后再做了一個骰子，骰子做出來骰子擲出來數字幾呢？然后他就去找這個數字的合成它的總數的兩個數，兩個數還在不同的瓶蓋上面他去找這樣的瓶蓋給它配起來配對配起來，像比如說這個我們是巧克力的盒子，它就好在它是透明的，老師用這個膠帶一封封起來以后這個里面放一些就是廢舊的棋子，這個棋子是兩面的有兩面不同的，然后他拿著這個透明的巧克力盒子就可以搖，一搖以后這個里面就是會出現什么？兩面，對吧！兩面然后他就可以來記錄就是說這個里面一個總數它可以分成幾個幾個部分數，分解和合成，再比如說這個也是分解和組合的一些小的這個區角里面用的材料，這一張呢？是大班正好是在，好像是有一個《我自己的身體》，要認識自己的身體的一個主題，然后老師設計的就是這樣畫了一個人的這個一個抽象的這樣的一個圖，然后挖了一點鏤空，鏤空了以后有小洞洞它正好是各種各樣的關節，關節的部位。一方面是讓孩子明白這個身體部位的關節的部位，另外一個也是讓他玩這個分解和組合的游戲，就是他有一些小的球，圓的彈子，然后是讓他放在這個就說這個關節圖上面，自然玩的時候就會掉下去，掉下去它里面正好是分成兩格的，關節洞洞，就叫“關節洞洞變變變”，然后打開以后看里面的彈子是分成怎樣的兩部分讓他來記錄。包括這個也是的，這個是豆子，豆子就是一個小的這個籃子它下面做了一塊底板是藍顏色的紅顏色的即時貼貼了一貼，那么然后這個豆子在這里骰，搖的時候就會有兩部分，藍的是多少紅的是多少，讓他去記錄。通過這樣的一種形式讓孩子對分解和組合有更多的實際的體驗。再比如說這張，這張我覺的也蠻好的，簡單又簡單，然后實際上是在孩子運用這個分解和組合的經驗，兩個孩子玩的，各拿你拿一種顏色的棋子我拿一種顏色的棋子，然后這是一張底板上有各種各樣的數字，兩個孩子玩擲骰子一個紅，一個綠，一起擲擲了以后這個骰子上會出現兩個數，對吧！出現兩個數以后他就去找一個總數然后把填填掉。兩個人最后比你占領的棋子多還是我占領的棋子多。對吧！就是大班，大班的孩子讓他來玩這個游戲。當然也可以反過來玩！反過來玩是一個骰子，對吧！一個骰子擲出來比如說5他要去找占兩個位置，對吧?就是分解，對吧？實際上就是兩個孩子大班兩個孩子玩有個什么好處呢？就是它起到一個什么？互相的相互學習，驗證的這樣一個結果，比一個孩子玩更好。再比如說這個也是它是一個春天的主題當中的有關的一些春天的一些植物的變化，然后它做成是一副撲克牌一樣。這個牌的反面就是一些數字和一些點子卡，讓孩子就是來湊對，湊對來兩張圖片匹配，匹配下來以后,后面的就是總數是一個就是說合成的一個總數找兩個部分數。再比如，也可以做一些游戲這個游戲呢？兩個孩子玩就是猜蔬菜的游戲，在猜蔬菜的游戲當中實際上也是運用到了什么？就是運算的這個經驗,因為這個實際上就是，如果老師仔細看一看就會發現他用的就是一個二進制的猜想游戲。就是有十種蔬菜，然后這十種蔬菜是通過不同的四張紙頭的安排讓孩子可以去猜在哪一張紙上面有，最后可以猜出來你心里想的喜歡的是哪一種蔬菜。這個當中運用的一個技能，就是要記住一個最小的數，就要把它相加，這里面就涉及到一個運算技能，所以在這樣的區角設計當中我要說的是什么？就是運算的問題大家不要把它理解成是就是在讓孩子練習，一定要給他一個情境，一個情境，你看剛才兩個人玩大家下棋的游戲，對吧!兩個人玩翻牌的游戲，實際上它是在讓孩子怎么樣？運用它的就是說數的這個分解和合成的經驗，但是它外在的形式上來說它不是一個純粹的書面的練習而是一種游戲的一種鞏固。所以，我想這樣的這個設計的話可能更能夠來符合這個年齡階段的孩子的一些特點。這個是我想講的，今天主要想講的就是這樣一個小的部分就是關于運算，所以最后呢，我想再總結一下，作為老師來說我剛才講到了一些孩子在數運算發展當中他的一些階段，他的一些發展的規律有些什么樣的趨勢。我也講到了我們在給兒童做運算相關的教學活動設計的時候我們怎么樣抓住最要緊的，對數量關系的，數量變化的理解以及對分解和合成的這樣一種經驗的一種運用，最要緊的我覺的是歸納起來的話是老師應該明白在數運算孩子學習數運算的這樣一種能力當中最核心的要點實際上是兩個要點，所以這里我給它歸納了兩個要點。第一個要點就是要讓兒童充分的去感知數量的變化，通過各種各樣的形式，而這種感知最好是尤其是在年齡小一點的，比如說中班你要去讓孩子感知的時候就一定要讓他看到這樣的一個過程，拿走的一個過程跟越來越多的一個過程，去掉了會越來越少的一個過程因為這個過程實際上是建立他的一種什么？感性的體驗讓他知道數量的這樣的一種變化，所以這是第一個要點，第二個要點就是在感知的數量變化的基礎上讓他能夠去理解分解和組合，就是一定要把它看成是兩個部分合起來的是一個總數它在這里建構的是三者之間的一個關系，不管是合起來也好或者說分解掉一部分也好它都涉及到了是一個組合還是分解的關系。這樣的一種學習可能更多的需要一些游戲性的情境，包括跟兒童生活相聯系的一些日常生活當中的情境一種就是說運用，而不是硬生生的讓他去練習幾加幾等于幾，幾加幾等于幾。所以我想這個是在數運算這個部分當中想跟老師們分享的歸納了兩個重要的要點，我想這個方法這個策略的層面上我們是可以不斷的再去研討再去變通，但是作為老師來說應該首先要明白最要緊的，在這部分的學習當中最要緊的是什么，我想今天就講到這里，謝謝大家！

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